Калькулятор факториала

Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается восклицательным знаком: n!, читается «эн факториал».

Формула факториала

n! = 1 · 2 · 3 · … · (n − 1) · n, а по определению 0! = 1.

Каждый следующий факториал получается из предыдущего умножением на n: n! = (n − 1)! · n. Например, 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720.

Таблица факториалов от 0 до 12

Факториал растёт очень быстро: в 20! уже 19 цифр, в 100! — 158, в 1000! — 2568. Обычный калькулятор и Excel показывают такие числа приближённо, а этот калькулятор — целиком, до последней цифры.

Где нужен факториал

• Перестановки: n различных предметов можно расставить по порядку n! способами — 4 книги на полке стоят 24 способами.
• Сочетания и размещения: формулы комбинаторики C = n! / (k! · (n − k)!) и A = n! / (n − k)! построены на факториалах.
• Бином Ньютона и теория вероятностей: биномиальные коэффициенты, формула Бернулли, распределение Пуассона.
• Ряды: разложения eˣ, sin x и cos x в ряд Тейлора содержат факториалы в знаменателях.

Вопросы и ответы

Чему равен факториал нуля?

0! = 1. Это соглашение: произведение без множителей равно единице, и с ним верны формулы n! = (n − 1)! · n при n = 1 и число сочетаний C из n по 0 = 1 (выбрать ничего можно одним способом).

Чему равен факториал 10?

10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3 628 800. Столько способов расставить по порядку 10 разных предметов.

Сколько нулей в конце факториала?

Каждый ноль в конце даёт пара множителей 2 и 5, а пятёрок меньше, чем двоек. Поэтому число нулей — n/5 + n/25 + n/125 + … (каждое деление — с отбрасыванием остатка). Например, у 100! нулей 20 + 4 = 24, у 1000! — 249.

Есть ли факториал отрицательного или дробного числа?

В школьном смысле — нет: факториал определён для целых n ≥ 0. Для дробных и комплексных чисел его обобщает гамма-функция: n! = Γ(n + 1), например (1/2)! = √π / 2 ≈ 0,8862. Для отрицательных целых чисел гамма-функция не определена.