Калькулятор геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – такая последовательность чисел, в которой первый член отличен от нуля, а каждое следующее число получается путем умножения предыдущего на знаменатель прогрессии. Пример такой прогрессии: 4, 8, 16, 32, 64, где первый член – 4, знаменатель – 2, количество членов – 5.

Геометрическая прогрессия представляет собой числовую последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на постоянное число \(q\), называемое "знаменателем". Первый член последовательности обозначается как \(a_1\).

Общий вид геометрической прогрессии:

\[a_1, a_1 \cdot q, a_1 \cdot q^2, a_1 \cdot q^3, \ldots\]

Свойства геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия обладает несколькими важными свойствами:

Бесконечность: геометрическая прогрессия может быть бесконечной, если \(|q| > 1\), что приводит к бесконечному увеличению значений с каждым последующим членом.
Ограниченность: если \(|q| < 1\), то геометрическая прогрессия ограничена, и ее значения стремятся к нулю при увеличении номера члена.
Знаки членов: знак всех членов геометрической прогрессии одинаков, если \(a_1\) и \(q\) одного знака. В противном случае члены чередуются по знаку.

Пример

Рассмотрим геометрическую прогрессию: 2, 6, 18, 54, 162. Здесь \(a_1 = 2\) и \(q = 3\).

4-й член (\(a_4\)) рассчитывается как: \(a_4 = a_1 \cdot q^{(4-1)} = 2 \cdot 3^3 = 54\)
Сумма первых 5 членов (\(S_5\)) вычисляется по формуле: \(S_5 = \frac{2 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = 242\)

Применение

Геометрическая прогрессия широко используется в различных областях:

Финансы: процентные ставки, рост инвестиций.
Физика: моделирование экспоненциального роста и убывания.
Информационные технологии: работа с ресурсами, увеличивающимися в геометрической прогрессии.

Понимание геометрической прогрессии является важным аспектом в математике и других областях. От финансовых расчетов до моделирования явлений в природе, ГП играет роль в решении различных задач и предоставляет мощный инструмент для анализа изменяющихся во времени величин.

Скопировать калькулятор «Геометрическая прогрессия»: