Среднее квадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение) - это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Оно является одним из наиболее распространенных и информативных показателей дисперсии или изменчивости данных. Калькулятор позволяет рассчитать стандартное отклонение S и отклонение для генеральной совокупности σ.

Стандартное отклонение — это статистическая мера разнообразия или изменчивости в наборе данных. Низкое стандартное отклонение указывает на то, что точки данных в целом близки к среднему значению. Высокое стандартное отклонение указывает на большую изменчивость в точках данных или большее расхождение от среднего.

Формула среднеквадратичного отклонение

Формула для вычисления выборочного стандартного отклонения:

\begin{align} s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N}(X_i - \overline{X})^{2}}{N - 1}} \end{align}

Формула для вычисления генерального стандартного отклонения:

\begin{align} \sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \overline{X})^{2}}{N}} \end{align}

Где:

\( s \) - выборочное стандартное отклонение,
\( \sigma \) - генеральное стандартное отклонение,
\( X_i \) - каждое значение в выборке,
\( \overline{X} \) - среднее значение выборки,
\( N \) - количество значений в выборке,

Пример вычисления

Допустим, у нас есть выборка данных о баллах, полученных студентами в некотором экзамене: 75, 80, 85, 90, 95.

Давайте вычислим выборочное и генерального стандартное отклонение для этой выборки. По формуле, оно вычисляется следующим образом:

Формула среднего значения (\( \bar{x} \)): \[ \bar{x} = \frac{75 + 80 + 85 + 90 + 95}{5} = \frac{425}{5} = 85 \]

Расчет разностей и квадратов разностей: \[ \begin{align*} 75 - 85 & : (-10)^2 = 100 \\ 80 - 85 & : (-5)^2 = 25 \\ 85 - 85 & : (0)^2 = 0 \\ 90 - 85 & : (5)^2 = 25 \\ 95 - 85 & : (10)^2 = 100 \\ \end{align*} \]

Суммирование квадратов разностей: \[ \sum{(x_i - \bar{x})^2} = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 \]

Подставим значения в формулу для выборочного стандартного отклонения (\( s \)): \[ s = \sqrt{\frac{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}{n-1}} = \sqrt{\frac{250}{5-1}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.91 \]

Подставим значения в формулу для генерального стандартного отклонения (\( \sigma \)): \[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}{n}} = \sqrt{\frac{250}{5}} = \sqrt{\frac{250}{5}} = \sqrt{50} \approx 7.07 \]

Практическое применение

Среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение) широко используется в статистике и анализе данных. Его практические применения включают, но не ограничиваются, следующими областями:

Измерение разброса данных:

Среднеквадратичное отклонение измеряет степень разброса данных относительно среднего значения. Чем больше стандартное отклонение, тем больше разброс данных.
Оценка Надежности Прогнозов:

В финансах и экономике среднеквадратичное отклонение используется для измерения вариации ценных бумаг и оценки риска инвестиций. Оно также применяется в оценке точности прогнозов в различных областях.
Контроль Качества Производства:

В производственных процессах стандартное отклонение может использоваться для контроля качества продукции. Большое отклонение может указывать на нестабильность процесса.
Медицинская Статистика:

В медицинской статистике среднеквадратичное отклонение может использоваться для оценки изменчивости в результатах клинических исследований или измерения разброса значений в лабораторных тестах.
Обучение и Тестирование:

В образовательных исследованиях среднеквадратичное отклонение может использоваться для измерения разброса оценок студентов и оценки того, насколько сильно результаты тестов отличаются друг от друга.
Социологические Исследования:

В социологических исследованиях среднеквадратичное отклонение может помочь измерить разброс ответов на опросы и оценить степень согласия или расхождения мнений в группе.
Наука о Климате:

В климатологии среднеквадратичное отклонение используется для измерения изменчивости климатических параметров, таких как температура или осадки, что важно для предсказания погоды и изучения изменений климата.
Инженерные Расчеты:

В инженерных расчетах стандартное отклонение может использоваться для оценки стабильности и надежности конструкций, материалов или процессов.