Решение системы линейных уравнений

Система линейных уравнений — несколько уравнений первой степени с общими неизвестными. Решить её — найти значения неизвестных, при которых верны все уравнения сразу, или доказать, что таких значений нет.

Как вводить систему

• Уравнениями: каждое с новой строки, например 2x + y - z = 8. Переменные — латинские буквы, можно с номером (x1, x2); русские «х» и «у» тоже подойдут. Коэффициенты — целые, десятичные или дроби (1/2x), члены можно писать по обе стороны от «=».
• Матрицей: в строке — коэффициенты при неизвестных и последним — свободный член, через пробел; перед свободным членом можно поставить «|». Неизвестные будут названы x₁, x₂…

Метод Гаусса

1. Прямой ход. Расширенную матрицу (коэффициенты и столбец свободных членов) приводят к ступенчатому виду: из нижних строк вычитают верхнюю, умноженную на множитель, чтобы под ведущими элементами стояли нули.
2. Проверка совместности. Если появилась строка «0 0 … 0 | b» с b ≠ 0, это уравнение 0 = b — решений нет.
3. Обратный ход. Начиная с нижней строки, ведущие элементы делают единицами, а над ними — нули. В последнем столбце получаются значения неизвестных.

Сколько решений у системы

По теореме Кронекера — Капелли система совместна, если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

Когда решений бесконечно много, часть неизвестных — свободные (любые числа), а остальные выражаются через них: например, x = 3 − y, y — любое число.

Вопросы и ответы

Чем метод Гаусса лучше метода Крамера?

Крамер работает только для квадратных систем с ненулевым определителем и требует n + 1 определителей. Метод Гаусса подходит для любой системы — с любым числом уравнений и неизвестных — и сам показывает, что решений нет или их бесконечно много.

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными?

Методом подстановки (выразить x из одного уравнения и подставить в другое), сложения (сложить уравнения так, чтобы одна переменная сократилась) или тем же методом Гаусса. Например, из x + 4 = y и 3x − 2y = 1: 3x − 2(x + 4) = 1, x = 9, y = 13.

Что значит «система несовместна»?

У неё нет ни одного решения: уравнения противоречат друг другу. Например, x + y = 3 и x + y = 5 — сумма не может быть одновременно 3 и 5.

Можно ли решить систему, где уравнений больше, чем неизвестных?

Да. Лишние уравнения либо следуют из остальных (в ступенчатом виде дают нулевые строки), либо противоречат им — тогда система несовместна.