Определитель матрицы

Определитель (детерминант) — число, которое ставится в соответствие квадратной матрице: det A или |A|. Если определитель равен нулю, матрица вырожденная: у неё нет обратной, а система уравнений с такой матрицей не имеет единственного решения.

Матрицу вводите построчно: каждая строка — с новой строки, элементы — через пробел. Подходят целые числа, десятичные (2,5 или 2.5) и дроби (1/3).

Определитель 2 × 2

Произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной:

det A = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Например, для матрицы из строк (1 2) и (3 4): 1 · 4 − 2 · 3 = −2.

Определитель 3 × 3: правило треугольников

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃.

Три произведения со знаком «+» берутся вдоль главной диагонали и двух «треугольников» с основаниями, параллельными ей; три со знаком «−» — так же относительно побочной диагонали. То же самое даёт правило Саррюса: справа приписывают первые два столбца и складывают произведения по диагоналям.

Метод Гаусса для любых матриц

Формулы для 4 × 4 и больше слишком длинные, поэтому матрицу приводят к треугольному виду:

1. Из строк ниже вычитают ведущую строку, умноженную на нужный множитель, — определитель не меняется.
2. Если ведущий элемент равен нулю, строки меняют местами — знак определителя меняется на противоположный.
3. Определитель треугольной матрицы — произведение элементов диагонали.

Если в ступенчатом виде появилась нулевая строка, определитель равен 0.

Свойства определителя

• При транспонировании определитель не меняется: det Aᵀ = det A.
• Перестановка двух строк меняет знак, умножение строки на число k умножает определитель на k.
• Если две строки пропорциональны или одна строка нулевая — определитель равен 0.
• det(A · B) = det A · det B.

Вопросы и ответы

Как найти определитель матрицы 4 × 4?

Методом Гаусса: приведите матрицу к треугольному виду и перемножьте элементы диагонали, учитывая знак перестановок строк. Можно и разложением по строке (через миноры), но для 4 × 4 это 4 определителя 3 × 3. Калькулятор показывает решение методом Гаусса по шагам.

Бывает ли определитель у прямоугольной матрицы?

Нет, определитель есть только у квадратной матрицы — с одинаковым числом строк и столбцов. Для прямоугольной матрицы можно найти ранг.

Что значит, что определитель равен нулю?

Строки (и столбцы) матрицы линейно зависимы: одна выражается через другие. У такой матрицы нет обратной, а система линейных уравнений с ней либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много.

Зачем нужен определитель?

По нему решают системы уравнений методом Крамера, находят обратную матрицу, проверяют линейную независимость векторов. Модуль определителя 2 × 2 — площадь параллелограмма на векторах-строках, 3 × 3 — объём параллелепипеда.