Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Система счисления — способ записывать числа цифрами. Мы привыкли к десятичной: в ней 10 цифр, и каждый разряд в 10 раз «тяжелее» соседнего справа. В двоичной цифр две — 0 и 1, в восьмеричной — восемь, в шестнадцатеричной — шестнадцать: после 9 идут буквы A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Калькулятор работает с основаниями от 2 до 36 — до буквы Z.

Перевод в десятичную систему

Каждую цифру умножают на основание в степени её разряда (разряды считают справа налево с нуля) и складывают:

1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀.

Цифры после запятой — с отрицательными степенями: 0,101₂ = 1 · 2⁻¹ + 0 · 2⁻² + 1 · 2⁻³ = 0,625.

Перевод из десятичной системы

Целая часть — делением на новое основание с остатком, пока частное не станет нулём. Остатки, записанные снизу вверх, — это число в новой системе. 11 : 2 = 5 (1), 5 : 2 = 2 (1), 2 : 2 = 1 (0), 1 : 2 = 0 (1) → 1011₂.

Дробная часть — умножением на основание: целая часть произведения — очередная цифра, дробная идёт дальше. 0,375 · 2 = 0,75 → 0; 0,75 · 2 = 1,5 → 1; 0,5 · 2 = 1 → 1 → 0,011₂. Конечная десятичная дробь может стать бесконечной периодической: 0,1₁₀ = 0,0(0011)₂.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная

8 = 2³ и 16 = 2⁴, поэтому между этими системами переводят группами цифр: каждая восьмеричная цифра — три двоичных (триада), шестнадцатеричная — четыре (тетрада). 1111 1111₂ = FF₁₆, 111 111 111₂ = 777₈.

Вопросы и ответы

Как перевести число из двоичной системы в десятичную?

Умножьте каждую цифру на 2 в степени её номера справа (с нуля) и сложите: 1011₂ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11. Проще — сложить степени двойки там, где стоят единицы.

Как перевести число в шестнадцатеричную систему?

Делите на 16 с остатком и записывайте остатки снизу вверх, остатки от 10 до 15 — буквами A–F: 255 : 16 = 15 (F), 15 : 16 = 0 (F) → FF. Из двоичной — разбейте число на группы по 4 цифры справа и замените каждую цифрой: 1010 1111₂ = AF₁₆.

Можно ли переводить дробные и отрицательные числа?

Да. Дробную часть отделяйте запятой или точкой, знак минус сохраняется при переводе. Если дробь в новой системе бесконечная, калькулятор покажет период в скобках, например 0,0(0011).

Почему в компьютерах двоичная система?

Электронной схеме проще всего различать два состояния — есть напряжение или нет, — поэтому данные хранятся в битах (0 и 1). Шестнадцатеричная запись короче двоичной в 4 раза и удобна программистам: один байт — две шестнадцатеричные цифры, от 00 до FF.