Формула Бернулли

Формула Бернулли используется для расчета вероятности бинарных событий в условиях независимых испытаний. Эта формула определяет вероятность того, что определенное событие (например, успех) произойдет заданное количество раз в серии испытаний, где каждое испытание имеет только два возможных исхода.

Формула Бернулли применяется к биномиальным вероятностным распределениям, где есть два возможных исхода (обычно обозначаемых как "успех" и "неудача"). Рассмотрим случай $n$ независимых испытаний с фиксированным успехом в каждом испытании и вероятностью успеха $p$.

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли формулирует вероятность того, что в серии независимых биномиальных испытаний число успехов равно k. Формулировка теоремы:

P_n(k) = C_kⁿ · p^k(1 - p)^n-k

Где:

• P_n(k) - вероятность получить $k$ успехов в $n$ испытаниях,
• C_kⁿ - число сочетаний (или биномиальный коэффициент),
• p - вероятность успеха в одном испытании,
• (1-p) - вероятность неудачи в одном испытании,
• k - количество успехов.

Теорема Бернулли полезна при оценке вероятности успешного исхода в серии независимых событий.

Пример использования

Представим, что у нас есть монета, и мы бросаем ее 10 раз. Каждый раз у нас есть вероятность 0,5 получить "орла". Мы можем использовать формулу Бернулли для определения вероятности получить, скажем, ровно 7 "орлов" в 10 бросках.

P_n(k) = C_kⁿp^k(1 - p)^n-k = n!k! · (n-k)!p^k(1 - p)^n-k = 10!7! · (10-7)!0.5⁷(1 - 0.5)^10-7 = 36288005040 · 6 · 0.5⁷ · 0.5³ = 120 · 0.0078125 · 0.125 = 0.1171875

Расчет этой формулы даст нам искомую вероятность.

Формула Бернулли - это мощный инструмент для анализа биномиальных вероятностей. Она нашла широкое применение в статистике, физике и других областях. Понимание и умение использовать эту формулу помогут в решении различных задач, связанных с вероятностями успеха и неудачи в серии независимых испытаний.

Комментарии к калькулятору